Permutation og kombination: Forskellen forklaret med formeleksempler

Permutationer og kombinationer er super nyttige i så mange applikationer - fra computerprogrammering til sandsynlighedsteori til genetik.

Jeg vil introducere dig til disse to koncepter side om side, så du kan se, hvor nyttige de er.

Hovedforskellen mellem disse to begreber er bestilling. Med permutationer fokuserer du på lister over elementer, hvor deres ordre betyder noget.

For eksempel blev jeg født i 1977 . Det er nummer 1 efterfulgt af nummer 9 efterfulgt af nummer 7 efterfulgt af nummer 7 . I den bestemte rækkefølge.

Hvis jeg i stedet ændrer ordren til 7917 , ville det være et helt andet år. Således ordren betyder noget .

Med Kombinationer på den anden side, er fokus på grupper af elementer, hvor ordren er ikke betyder noget.

Ligesom min kop kaffe er en kombination af kaffe , sukker og vand . Det betyder ikke noget, i hvilken rækkefølge jeg tilføjer disse ingredienser. Der kan lige så godt være vand , sukker og kaffe , det er stadig den samme kop kaffe. Således betyder ordren ikke noget.

Lad os nu se nærmere på disse begreber.

Del 1: Permutationer

Permutationer hvor gentagelse er tilladt

Forestil dig, at du har en ny telefon. Når du begynder at bruge denne nye telefon, bliver du på et tidspunkt bedt om at oprette en adgangskode.

Nærbillede og personlig

Adgangskoden skal bestå af 4 cifre. Eventuelle 4 cifre. Og de kan gentages.

Der er i alt 10 cifre til at begynde med. Disse er: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Så for det første ciffer i dit kodeord har du 10 valg.

Da du muligvis bruger det samme ciffer igen, vil antallet af valg for det andet ciffer i vores adgangskode være 10 igen! Således vælges to af adgangskodecifrene hidtil, permutationerne er 10 gange 10 eller 10 x 10 = 100 eller 102 .

Den samme tænkning gælder for det tredje ciffer i dit kodeord. Du får vælge mellem de samme 10 valg igen. Denne gang har du 10 gange 10 gange 10 eller 10 x 10 x 10 = 1.000 eller 103 permutationer.

Til sidst, for det fjerde ciffer i adgangskoden og de samme 10 cifre at vælge imellem, ender vi med 10 gange 10 gange 10 gange 10 eller 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 eller 104 permutationer.

Som du sikkert har bemærket, havde du 4 valg at tage, og du gangede 10 fire gange (10 x 10 x 10 x 10) for at nå frem til et samlet antal permutationer (10.000). Hvis du skulle vælge 3 cifre til din adgangskode, ville du gange 10 tre gange. Hvis 7 , ville du gøre det syv gange og så videre.

Men livet handler ikke kun om adgangskoder med cifre at vælge imellem. Hvad hvis du har en fødselsdagsfest og har brug for at vælge 5 farvede balloner fra 20 forskellige tilgængelige farver?

Da du har 20 forskellige farver at vælge imellem og måske vælger den samme farve igen, har du 20 valg for hver ballon . Den første ballon er 20 , den anden ballon er 20 gange 20 eller 20 x 20 = 400 osv. For den femte ballon får du 20 x 20 x 20 x 20 x 20 = 3.200.000 eller 205 permutationer.

Lad os opsummere med den generelle regel: når ordren betyder noget og gentagelse er tilladt, hvis n er antallet af ting at vælge imellem (balloner, cifre osv.), Og du vælger r af dem (5 balloner til festen, 4 cifre for adgangskoden) osv.), vil antallet af permutationer være lig med P = nr .

Permutationer hvor gentagelse ikke er tilladt

Lad os derefter overveje det tilfælde, hvor gentagelse ikke er tilladt . Som et eksempel vil vi se på planeterne i vores solsystem.

Hvor mange forskellige måder kan du arrangere disse 8 planeter? Planeterne er: Kviksølv , Venus , Jorden , Mars , Jupiter , Saturn , Uranus og Neptun . Når du har valgt, siger Mercury, kan du ikke vælge det igen. Således er du nødt til at reducere antallet af tilgængelige valg hver gang planeten vælges.

Det første valg har 8 muligheder. Det andet valg har 8 minus 1 er lig med 7 muligheder, derefter 6 , efterfulgt af 5 , efterfulgt af 4, indtil vi har 1 planet tilbage på listen.

Efter logikken fra det foregående scenarie er det samlede antal permutationer: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 .

Med andre ord er dette et produkt af heltal 8 og alle de positive heltal under det. Dette produkt kaldes Factorial og betegnes med et udråbstegn som følger: 8!

Antallet af permutationer er lig med P = 8! eller mere generelt P = n!

Hvad hvis du kun har brug for at arrangere, siger, 5 ud af disse 8 planeter i stedet for dem alle? Så tager du kun de første 5 trin i vores metode. Nemlig, P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 vil være, hvor mange måder, du kan arrangere 5 planeter ud af 8 .

Men hvorfor stoppe her? Hvorfor ikke anvende vores logik for at komme med en mere generel formel? For at gøre ovenstående betegnelse let at huske for et antal objekter bruger vi et trick. I en brøk, der multiplicerer både tæller og nævner med det samme tal (undtagen nul), påvirker ikke denne brøk. Dermed:

Antal planeter at vælge imellem n = 8 , du vælger r = 5 af dem. At erstatte tallene i ovenstående formel giver os P = 8! / (8 - 5)! = 8! / 3! . Samme som 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6.720 .

Herfra kan resultatet fra tidligere eksempel udledes. Der arrangerede du alle 8 ud af 8 tilgængelige planeter. Ved hjælp af den nye formel er P = 8! / (8 - 8)! = 8! / 0! . Da faktoruel af nul er aftalt at være lig med 1 , P = 8! / 1 = 8 !. Eller mere generelt:

P = n! / (n - n)! = n! / 0! = n! .  

En kort og praktisk notation, der ofte bruges, er: P (n, r) = n! / (n - r)!

At huske formler er vigtigt. Men hvad der er vigtigere for at løse problemer i det virkelige liv er at vide, hvilke formler der skal bruges i hver situation. Øvelse hjælper.

Pop Quiz:

Turneringen er i gang, og seks hold konkurrerer. Første plads får guld og andenpladsen får sølvmedaljer. Hvor mange forskellige måder kan medaljer tildeles disse hold?

Vælg 1 svar


30
360
720
15
Indsend

Forklaring: Du har 6 hold at vælge imellem. Således er n = 6 . Guld og sølv giver dig sammen to medaljer at uddele. Således er r = 2 . At erstatte disse tal i din formel giver os P (6, 2) = 6! / (6 - 2)! = 6! / 4! = 6 x 5 = 30 .

Del 2. Kombinationer

Kombinationer uden gentagelse

For at gøre sammenligningen mere levende, lad os se på vores eksempel på planetvalg. Hvad hvis du vil vide, hvilke planeter der vælges og ikke deres rækkefølge?

Der havde du 6.720 forskellige måder at arrangere 5 ud af 8 planeter på. Men da rækkefølgen af udseende betyder ikke noget nu, mange af disse måder er overflødige . De er de samme for os.

En gruppe Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturn er den samme gruppe som Mars, Jupiter, Venus, Jorden, Saturn og gruppen som Saturn, Mars, Jorden, Jupiter, Venus. Dette er bare forskellige sekvenser af de samme 5 planeter.

Hvor mange grupper har du, der er ens? Hvis du vælger r planeter pr. Gruppe, får du r! grupper. For r = 5 får du r! = 5! = 120 grupper.

For at eliminere de unødvendige grupper, der er ens, dividerer du antallet af originale 6.720 permutationer med 5! . Resultatet er 6.720 / 120 = 56 .

For at generalisere, for at nå frem til antallet af kombinationer , er du nødt til at finde ud af alle permutationer og dele med alle afskedigelser .

Brug kort og praktisk notation: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n - r)!)

Og det forudsætter, at ordre betyder ikke noget, og der er ingen gentagelser (der er - der er kun én Jupiter at vælge imellem).

Lad os se på turneringseksemplet igen:

Turneringen er i gang, og seks hold konkurrerer. Første plads får guld og andenpladsen får sølvmedaljer. Hvor mange grupper af medaljevindere er mulige? Rækkefølgen af ​​hold betyder ikke noget

Vælg 1 svar


360
15
30
720
Indsend

Som før har du 6 hold. Således er n = 6 . Der tildeles to medaljer, så r = 2 . Denne gang betyder det dog ikke noget, hvem der vinder guld og hvem der vinder sølv. Holdguld og holdsølv er det samme som holdsølv og holdguld. At erstatte disse tal i din formel giver os C (6, 2) = 6! / (2! (6 - 2)!) = 6! / 2! 4! = 15 .

Kombinationer med gentagelse

For at fuldføre denne artikel er der en sag, der kræver særlig opmærksomhed. Indtil videre i vores kombinationer antog vi, at der ikke var nogen gentagelse. Ingen ting var ens.

Hvad hvis vi kan få gentagelser? Hvad hvis vi, som i vores tidligere eksempel, kan vælge mere end en ballon af samme farve? Hvis antallet af balloner at vælge imellem er n, og vi vælger r af dem, samtidig med at vi tillader de samme farver og ser bort fra rækkefølgen af ​​arrangementet, ender vi med (n + r - 1)! / (r! (n - 1)!) Kombinationer .

Så indpakning, her er en tabel, du kan bruge til at henvise til disse begreber og deres formler.

Jeg håber, at denne artikel har hjulpet dig med bedre at forstå disse to vigtige matematiske begreber. Tak for læsningen.