Afslutning af firkantformlen: Sådan fuldføres firkanten med en kvadratisk ligning

Overvej følgende kvadratiske ligning: x2 = 9 . Hvis vi bliver bedt om at løse det, tager vi naturligvis kvadratroden af 9 og ender med 3 og -3 . Men hvad hvis enkle kvadratrodmetoder ikke vil gøre? Hvad hvis ligningen inkluderer x hævet til den første effekt og ikke let kan indregnes?

Heldigvis er der en metode til færdiggørelse af pladsen . Som et resultat kan en kvadratisk ligning løses ved at tage kvadratroden. Lad os udforske dette trin for trin sammen.

Sig, at vi får følgende ligning:

EKSEMPEL 1: Fuldførelse af firkanten

TRIN 1: Adskil de variable vilkår fra den konstante periode

Lad os forenkle vores ligning. Først skal du adskille termerne, der inkluderer variabler, fra de faste termer. Træk derefter x fra 13x (resultatet er 12x ) og træk 7 fra 6 (resultatet er -1 ).

TRIN 2: Sørg for, at koefficienten for X i kvadrat er lig med 1

Metoden til at udfylde firkanten fungerer meget lettere, når koefficienten x2 er lig1 . Koefficienten er i vores tilfælde lig med 4 . Opdeler4 i hvert medlem resulterer i x2 + 3x = - 1/4 .

TRIN 3: Gennemfør pladsen

Først skal vi finde den konstante sigt for vores komplette firkant. Koefficienten x , som er lig med3 divideres med 2 og kvadreres, hvilket giver os 9/4 .

Derefter tilføjer og trækker vi 9/4 som vist ovenfor. At gøre det påvirker ikke vores ligning ( 9/4 - 9/4 = 0 ), men giver os et udtryk for det komplette kvadrat x2 + 3x + 9/4 .

TRIN 4: Faktor Udtrykket X i kvadrat + 3X + 9/4

Lad os nu huske et mere generelt (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2 og bruge det i det aktuelle eksempel. At erstatte vores tal giver os:   x2 + 3x + 9/4 = x2 + 2 * (3/2) * x + (3/2) 2 = (x + 3/2) 2 .

TRIN 5: Tag kvadratroden

Endelig giver kvadratroden fra begge sider os √ (x + 3/2) 2 = ± √2 . Eller simpelthenx + 3/2 = ± √2 . Vi afslutter dette med at løse for x : X 1 = √2 - 3/2og X 2 = - √2 - 3/2 .

EKSEMPEL 2: Lad os løse en mere

TRIN 1: Adskil de variable vilkår fra den konstante periode

Forenkle ved at adskille termerne med variabler fra konstante termer. Udfør derefter subtraktion og addition på begge sider af ligningen.

TRIN 2: Sørg for, at koefficienten x x er lig med 1

Her er koefficienten for X2 allerede lig med 1 , så der er ikke behov for yderligere handling.

TRIN 3: Gennemfør pladsen

Som i det foregående eksempel finder vi den konstante sigt for vores komplette firkant. Koefficienten x , som er lig med-8 divideres med 2 og kvadreret, hvilket giver os 16 .

Vi tilføjer og trækker 16 og kan se, at x2 - 8x + 16 giver os en komplet firkant.

TRIN 4: Faktor Udtrykket X i kvadrat - 8X + 16

Da det konstante udtryk -8 er med minustegnet, bruger vi denne generelle form: (x - a) 2 = x2 - 2ax + a2 . Brug af vores tal giver os: x2 - 8x + 16 = x2 - 2 * (4) * x + (4) 2 = (x - 4) 2 .                              

TRIN 5: Tag kvadratroden

Endelig giver kvadratroden fra begge sider os √ (x - 4) 2 = ± √11 . Eller simpelthenx - 4 = ± √11 . Vi afslutter dette med at løse for x : X 1 = 4 + √11og X 2 = 4 - √11

Og der har du det!