Vejledning i boolsk algebra sandhedstabel - XOR, NOR og logiske symboler forklaret

Vi elsker alle computere. De kan gøre så mange fantastiske ting. Inden for et par årtier har computere fuldstændigt revolutioneret næsten alle aspekter af menneskeliv.

De kan udføre opgaver i varierende grad af sofistikering, alt sammen ved blot at vende nuller og ener. Det er bemærkelsesværdigt at se, hvordan en sådan simpel handling kan føre til så meget kompleksitet.

Men jeg er sikker på, at I alle ved, at en sådan kompleksitet ikke kan opnås (praktisk talt) ved bare tilfældigt at vende tallene. Der er faktisk nogle ræsonnementer bag det. Der er regler, der styrer, hvordan dette skal gøres. I denne artikel vil vi diskutere disse regler, og vi vil se, hvordan de styrer, hvordan computere "tænker".

Hvad er boolsk algebra?

De regler, jeg nævnte ovenfor, er beskrevet af et matematikfelt kaldet boolsk algebra.

I sin bog fra 1854 foreslog den britiske matematiker George Boole et systematisk sæt regler for manipulation af sandhedsværdier. Disse regler gav et matematisk grundlag for at håndtere logiske propositioner. Disse sæt fundamenter førte til udviklingen af ​​boolsk algebra.

For bedst at forstå boolsk algebra skal vi først forstå ligheder og forskelle mellem boolsk algebra og andre former for algebra.

Algebra beskæftiger sig generelt med studiet af matematiske symboler og de operationer, der kan udføres på disse symboler.

Disse symboler har ikke deres egen betydning. De repræsenterer en anden mængde. Det er denne størrelse, der giver disse symboler en vis værdi, og det er denne størrelse, som operationerne faktisk udføres på.

Boolsk algebra beskæftiger sig også med symboler og de regler, der styrer operationerne på disse symboler, men forskellen ligger i, hvad disse symboler repræsenterer .

I tilfælde af almindelig algebra repræsenterer symbolerne de reelle tal, mens de i boolsk algebra repræsenterer sandhedsværdierne.

Billedet nedenfor viser hele sættet med reelle tal. Sættet med reelle tal inkluderer naturlige tal (1, 2, 3, 4 ....), hele tal (alle de naturlige tal og 0), heltal (.....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) og så videre. Almindelig algebra beskæftiger sig med hele dette antal numre.

Sandhedsværdierne til sammenligning består af et sæt på kun to værdier: Falsk og Sand. Her vil jeg gerne påpege, at vi kan bruge ethvert andet symbol til at repræsentere disse værdier.

For eksempel i datalogi repræsenterer vi for det meste disse værdier ved hjælp af 0 og 1. 0 bruges til falsk og 1 for sandt.

Du kan også gøre det på mere fancy måder ved at repræsentere sandhedsværdier med nogle andre symboler som katte og hunde eller bananer og appelsiner.

Pointen her er, at den interne betydning af disse symboler forbliver den samme uanset hvilket symbol du bruger. Men sørg for at du ikke ændrer symbolerne, mens du udfører operationerne.

Nu er spørgsmålet, at hvis (sand og falsk), (0 og 1) kun er repræsentationerne, hvad er det så, de prøver at repræsentere?

Den underliggende betydning bag sandhedsværdier kommer fra logikfeltet, hvor sandhedsværdier bruges til at fortælle, om en proposition er "sand" eller "falsk". Her repræsenterer sandhedsværdier forholdet mellem en proposition og sandheden, det vil sige, om propositionen er sand eller falsk.

Et forslag er bare en erklæring som "Alle katte er søde."

Hvis ovenstående forslag er sandt, tildeler vi det sandhedsværdien af ​​"Sandt" eller "1", ellers tildeler vi det "Falsk" eller "0".

I digital elektronik bruges sandhedsværdier til at repræsentere tilstanden "Til" og "Fra" for elektroniske kredsløb. Vi vil diskutere mere om det senere i denne artikel.

Boolske operationer og sandhedstabeller

Ligesom almindelig algebra har boolsk algebra også operationer, der kan anvendes på værdierne for at få nogle resultater. Selvom disse operationer ikke ligner dem i almindelig algebra, fordi, som vi diskuterede tidligere, boolsk algebra arbejder på sandhedsværdier snarere end reelle tal.

Boolsk algebra har tre grundlæggende operationer.

ELLER : Også kendt som Disjunction . Denne operation udføres på to boolske variabler. Outputtet fra OR-operationen vil være 0, når begge operander er 0, ellers vil det være 1.

For at få et klarere billede af, hvad denne operation gør, kan vi visualisere det ved hjælp af en sandhedstabel nedenfor.

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

OG : Også kendt som konjunktion . Denne operation udføres på to boolske variabler. Outputtet fra AND-operationer vil være 1, når begge operander er 1, ellers vil det være 0. Sandhedstabelrepræsentationen er som følger.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

IKKE : Også kendt som Negation . Denne operation udføres kun på en variabel. Hvis værdien af ​​variablen er 1, konverterer denne operation den simpelthen til 0, og hvis værdien af ​​variablen er 0, konverteres den til 1.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

Boolsk algebra og digitale kredsløb

Efter den oprindelige udvikling forblev boolsk algebra i meget lang tid et af de begreber i matematik, som ikke havde nogen væsentlige praktiske anvendelser.

I 1930'erne indså Claude Shannon, en amerikansk matematiker, at boolsk algebra kunne bruges i kredsløb, hvor de binære variabler kunne repræsentere "lave" og "høje" spændingssignaler eller "til" og "fra" -tilstande.

Denne enkle idé om at skabe kredsløb ved hjælp af boolsk algebra førte til udviklingen af ​​digital elektronik, som bidrog stærkt i udviklingen af ​​kredsløb til computere.

Digitale kredsløb implementerer boolsk algebra ved hjælp af Logic Gates. Logiske porte er kredsløbene, der repræsenterer en boolsk operation. For eksempel repræsenterer en ELLER-port en ELLER-operation. Det samme gælder også IKKE og OG-porte.

Ved siden af ​​de grundlæggende logiske porte har vi også logiske porte, der kan oprettes ved hjælp af kombinationen af ​​de grundlæggende logiske porte.

NAND : NAND-porten er dannet af en kombination af IKKE- og OG-porte. NAND gate giver en output på 0, hvis begge indgange er 1, ellers 1.

NAND-porten har egenskaben Funktionel Fuldstændighed, hvilket betyder, at enhver boolsk funktion kun kan implementeres ved kun at bruge en kombination af NAND-porte.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR : NOR-porten er dannet af en kombination af IKKE og ELLER porte. NOR gate giver en output på 1, hvis begge indgange er 0, ellers 0.

NOR gate, ligesom NAND gate, har egenskaben Funktionel Kompletthed, hvilket betyder, at enhver boolsk funktion kun kan implementeres ved kun at bruge en kombination af NOR-porte.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

De fleste digitale kredsløb er bygget ved hjælp af NAND- eller NOR-porte på grund af deres funktionelle fuldstændighedsegenskab og også fordi de er lette at fremstille.

Bortset fra de ovennævnte porte har vi også nogle specielle porte, der tjener et bestemt formål. Disse er som følger:

XOR : XOR gate eller Exclusive-OR gate er en speciel type logisk gate, der giver 0 som output, hvis begge indgange enten er 0 eller 1, ellers giver det 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR : XNOR gate eller Exclusive-NOR gate er en speciel type logisk gate, der giver 1 som output, når begge input er enten 0 eller 1, ellers giver det 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Konklusion

Så med alt det kan vi nu afslutte vores diskussion om boolsk algebra her. Jeg håber, at du nu har et anstændigt billede af, hvad boolsk algebra handler om.

Dette er bestemt ikke alt hvad du behøver at vide om boolsk algebra. Boolsk algebra har mange begreber og detaljer, som vi ikke kunne diskutere i denne artikel.