Eulers metode forklaret med eksempler

Hvad er Eulers metode?

Eulers metode er en førsteordens numerisk procedure til løsning af almindelige differentialligninger (ODE) med en given startværdi.

Det generelle startværdiproblem

Metodologi

Eulers metode bruger den enkle formel,

at konstruere tangenten ved punktet xog opnå værdien af y(x+h), hvis hældning er,

I Eulers metode kan du tilnærme opløsningens kurve efter tangenten i hvert interval (dvs. ved en sekvens af korte linjesegmenter) i trin af h.

Generelt , hvis du bruger lille trinstørrelse, øges nøjagtigheden af ​​tilnærmelsen.

Generel formel

Funktionel værdi til enhver tid b, givet afy(b)

hvor,

  • n = antal trin
  • h = intervalbredde (størrelse på hvert trin)

Pseudokode

Eksempel

Find y(1), givet

Løsning analytisk er løsningen y = ex og y(1)= 2.71828. (Bemærk: Denne analytiske løsning er kun til sammenligning af nøjagtigheden.)

Ved hjælp af Eulers metode, overvejer h= 0.2, 0.1, 0.01, kan du se resultaterne i nedenstående diagram.

Når h= 0.2, y(1)= 2.48832(fejl = 8,46%)

Hvornår h= 0.1, y(1)= 2.59374(fejl = 4,58%)

Når h= 0.01, y(1)= 2.70481(fejl = 0,50%)

Du kan bemærke, hvordan nøjagtigheden forbedres, når trin er små.