Sådan løses et system med lineære ligninger

En lineær ligning er en ligning, der viser en linje. Et system med lineære ligninger er, når der er to eller flere lineære ligninger grupperet sammen.

For at forenkle illustrationen vil vi overveje systemer med to ligninger. Som navnet antyder, er der to ukendte variabler. Ofte betegnes de med bogstaverne x og y . Hvis ligninger beskriver en eller anden proces, kan bogstaverne vælges efter de roller, de spiller. For eksempel kan d stå for afstand og t for tid.

I denne artikel lærer vi at løse systemer til lineære ligninger ved hjælp af to sjove metoder. Men inden vi starter, lad os se, hvordan vi ender med et bestemt system ved at se på et eksempel på det virkelige liv.

Udledning af et system

En dreng går på sin cykel og begynder at ride i skole. Han kører 200 yards hvert minut.

6 minutter senere indser hans mor, at hendes søn har glemt sin frokost. Hun går på sin egen cykel og begynder at følge drengen. Hun rider 500 yards hvert minut (hun er en olympiker og en guldmedalje).

Vi vil finde ud af, hvor lang tid det tager moderen at indhente drengen, og hvor langt hun skal ride for at gøre det.

Da drengen dækker 200 yards hvert minut, vil han i t minutter dække 200 gange t yards eller 200t yards.

Hans mor begynder at cykle 6 minutter senere, så hun kører i (t - 6) minutter. Da hun dækker 500 yards hvert minut, i (t - 6) minutter dækker hun 500 gange (t - 6) yards eller 500 (t - 6) yards.

Da hun indhenter ham, har de begge kørt samme afstand. Lad os sige, at afstanden er d .

For drengen har vi   d = 200t og for hans mor har vi d = 500 (t - 6) . Vi har nu vores system med to ligninger.

En krøllet bøjle tilføjes ofte for at indikere, at ligninger danner et system.

Lad os nu se, hvordan vi kan løse dette system.

Løsning ved udskiftning

Den første metode, vi vil overveje, bruger substitution .

Vi har to ukendte her, d og t . Ideen er at slippe af med en variabel ved at udtrykke den ved hjælp af den anden variabel.

Den øverste ligning fortæller os, at d = 200t , så lad os tilslutte 200t for d i bundligningen. Som et resultat har vi en ligning med bare t- variablen.

Først udvider vi højre side: 500 (t -6) = 500t - 500 * 6 = 500t - 3000 .

Derefter forenkler vi ved at flytte de ukendte medlemmer til den ene side og de kendte medlemmer til den anden. Resultatet er: 500t - 200t = 3000 .

Løsning for t giver os t = 10 , eller da vi måler tiden i minutter, t = 10 minutter . Med andre ord vil moderen indhente sin søn om 10 minutter.

Den anden del af vores problem er at finde ud af, hvor langt hun måtte cykle for at indhente ham.

For at besvare dette spørgsmål er vi nødt til at finde d . At erstatte t = 10 i begge ligninger giver os det svar.

For at gøre det lettere skal du bruge topligningen, d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Da vi måler afstanden i yards, er d = 2000 yards .

Lad os teste din forståelse indtil videre - prøv at løse det næste system alene:

{

y = 2x

y = 3 (x - 1)

Vælg 1 svar


x = 3 og y = 6
x = 1 og y = 2
x = 6 og y = 3
x = 1/2 og y = 2/3
Indsend

I systemet ovenfor er de ukendte variabler x og y .

Fra den øverste ligning ved vi, at y = 2x . At erstatte det med den nederste ligning giver os 2 (2x) = 3 (x + 1) .

Når vi udvider og forenkler, får vi 4x = 3x + 3 . Eller x = 3 . Derfor er y = 2 * 3 = 6 .

Løsning ved graftegning

Den anden metode, vi vil overveje, bruger grafer ,hvor vi finder løsningen på et ligningssystem ved at tegne dem.

Tag for eksempel dette system: y = 2x + 3 og y = 9 - x .

En graf for hver ligning vil være en linje. Den første for y = 2x + 3 ser sådan ud:  

Dernæst kan vi tegne en linje for y = 9 - x :  

Disse to linjer krydser hinanden nøjagtigt et punkt. Dette punkt er den eneste løsning på begge ligninger:

Det bestilte par (2, 7) giver os koordinaterne til vores skæringspunkt. Dette par er løsningen på systemet. Ved at erstatte x = 2 og y = 7 kan vi kontrollere dette.

Hvad hvis graferne er parallelle og slet ikke skærer hinanden? For eksempel:

Når grafer over ligningerne ikke krydser hinanden, betyder det, at vores system ikke har nogen løsning. At prøve at løse ved udskiftning vil bevise det.

Resultatet af x - 1 = x - 3 vil være 0 = -2 , hvilket altid er forkert .

Men hvad nu hvis to grafer er ens og ligger direkte oven på hinanden?

I sådanne tilfælde er der et uendeligt antal skæringspunkter. Det betyder, at vores system har et uendeligt antal løsninger. Brug af substitutionsmetoden vil bevise det.

Resultatet af x - 2 = x - 2 er 0 = 0 , hvilket altid er sandt .

Mere øvelse

Prøv at bruge både substitutions- og tegningsmetoder til at løse følgende systemer. Disse metoder supplerer hinanden og hjælper dig med at styrke din viden.

{

y = 2

3y - 2x = 4

Vælg 1 svar


Systemet har ingen løsning
x = 1/2 og y = 1
x = 1 og y = 2
x = 0 og y = 2
Indsend

At vælge en bestemt variabel, der skal bruges til erstatning, skal gøre det lettere at finde en løsning.

Prøv at udtrykke x med to andre medlemmer i den øverste ligning, og erstat derefter resultatet i den nederste ligning. På den måde undgår du at håndtere brøker.

{

x + 5y = 7

3x - 2y = 4

Vælg 1 svar


x = 5 og y = 5/2
x = 1 og y = 2
x = 1 og y = 1
x = 2 og y = 1
Indsend

Lad os gøre endnu en udfordring:

{

-6x - 8y = 4

y = -x - 1

Vælg 1 svar


x = -2 og y = 1
Uendeligt antal løsninger
x = 2 og y = -1
x = -1/6 og y = 6
Indsend

Nu hvor du ved nok om erstatning og tegning, skal du komme ud og løse mere lineære ligninger.