Datastruktur for binært søgetræ forklaret med eksempler

Et træ er en datastruktur sammensat af noder, der har følgende egenskaber:

  1. Hvert træ har en rodknude (øverst) med en vis værdi.
  2. Rodknudepunktet har nul eller flere underknudepunkter.
  3. Hver barneknude har nul eller flere underknudepunkter osv. Dette skaber et undertræ i træet. Hver knude har sit eget undertræ, der består af hans børn og deres børn osv. Det betyder, at hver knude alene kan være et træ.

Et binært søgetræ (BST) tilføjer disse to egenskaber:

  1. Hver knude har maksimalt op til to børn.
  2. For hvert knudepunkt er værdierne for dets venstre nedadgående knudepunkter mindre end værdien for den aktuelle knude, hvilket igen er mindre end de højre nedadgående knudepunkter (hvis nogen).

BST er bygget op på ideen om den binære søgealgoritme, som giver mulighed for hurtig opslag, indsættelse og fjernelse af noder. Den måde, de er opstillet på, betyder, at hver sammenligning i gennemsnit giver operationerne mulighed for at springe over halvdelen af ​​træet, så hver opslag, indsættelse eller sletning tager tid, der er proportional med logaritmen for antallet af genstande, der er gemt i træet, O(log n).

Imidlertid kan nogle gange det værste tilfælde ske, når træet ikke er afbalanceret, og tidskompleksiteten gælder O(n)for alle disse tre funktioner. Derfor er selvbalancerende træer (AVL, rød-sort osv.) Meget mere effektive end den grundlæggende BST.

Eksempel på værste tilfælde: Dette kan ske, når du fortsætter med at tilføje noder, der altid er større end noden før (det er forælder), det samme kan ske, når du altid tilføjer noder med værdier lavere end deres forældre.

Grundlæggende operationer på en BST

  • Opret: opretter et tomt træ.
  • Indsæt: indsæt en node i træet.
  • Søgning: Søger efter en node i træet.
  • Slet: sletter en node fra træet.

skab

Oprindeligt oprettes et tomt træ uden noder. Variablen / identifikatoren, der skal pege på rodnoden, initialiseres med en NULLværdi.

Søg

Du begynder altid at søge i træet ved rodnoden og går ned derfra. Du sammenligner dataene i hver node med den, du leder efter. Hvis den sammenlignede node ikke stemmer overens, fortsætter du enten til det rigtige barn eller til det venstre barn, hvilket afhænger af resultatet af følgende sammenligning: Hvis den node, du søger efter, er lavere end den, du sammenlignede den med, du går videre til venstre barn, ellers går du til højre barn (hvis det er større). Hvorfor? Fordi BST er struktureret (ifølge definitionen), er det rigtige barn altid større end forældren, og det venstre barn er altid mindre.

Indsæt

Det ligner meget søgefunktionen. Du starter igen ved roden af ​​træet og går ned rekursivt og søger efter det rigtige sted at indsætte vores nye knude på samme måde som forklaret i søgefunktionen. Hvis en knude med den samme værdi allerede findes i træet, kan du vælge enten at indsætte duplikatet eller ikke. Nogle træer tillader duplikater, andre gør det ikke. Det afhænger af den bestemte implementering.

Slet

Der er 3 tilfælde, der kan ske, når du prøver at slette en node. Hvis det har,

  1. Intet undertræ (ingen børn): Denne er den nemmeste. Du kan bare slette noden uden yderligere handlinger nødvendige.
  2. Et undertræ (et barn): Du skal sørge for, at efter at noden er slettet, er dens barn derefter forbundet til den slettede nodes forælder.
  3. To undertræer (to børn): Du skal finde og erstatte den node, du vil slette, med dens efterfølger (den mindste længste node i det højre undertræ).

Tidenes kompleksitet for at skabe et træ er O(1). Tidenes kompleksitet for søgning, indsættelse eller sletning af en node afhænger af træets højde h, så det værste tilfælde er O(h).

Forløber for en knude

Forgjengere kan beskrives som den node, der ville komme lige før den node, du er i øjeblikket. For at finde forgængeren til den aktuelle knude skal du se på den højre / største bladknude i venstre undertræ.

Efterfølger af en knude

Efterfølgere kan beskrives som den node, der ville komme lige efter den node, du er i øjeblikket. For at finde efterfølgeren til den aktuelle knude, se på den venstre / mindste bladknude i højre undertræ.

Specielle typer BT

  • Bunke
  • Rød-sort træ
  • B-træ
  • Splay træ
  • N-ary træ
  • Trie (Radix træ)

Kørselstid

Datastruktur: Array

  • Værst tænkelig ydeevne: O(log n)
  • Bedste case ydeevne: O(1)
  • Gennemsnitlig ydeevne: O(log n)
  • Værst-plads-kompleksitet: O(1)

Hvor ner antallet af noder i BST.

Implementering af BST

Her er en definiton for en BST-node, der har nogle data, der henviser til dens venstre og højre underordnede noder.

struct node { int data; struct node *leftChild; struct node *rightChild; };

Søgning

Når et element skal søges, skal du begynde at søge fra rodnoden. Så hvis dataene er mindre end nøgleværdien, skal du søge efter elementet i venstre undertræ. Ellers skal du søge efter elementet i det rigtige undertræ. Følg den samme algoritme for hver node.

struct node* search(int data){ struct node *current = root; printf("Visiting elements: "); while(current->data != data){ if(current != NULL) { printf("%d ",current->data); //go to left tree if(current->data > data){ current = current->leftChild; }//else go to right tree else { current = current->rightChild; } //not found if(current == NULL){ return NULL; } } } return current; }

Indsæt operation

Whenever an element is to be inserted, first locate its proper location. Start searching from the root node, then if the data is less than the key value, search for the empty location in the left subtree and insert the data. Otherwise, search for the empty location in the right subtree and insert the data.

void insert(int data) { struct node *tempNode = (struct node*) malloc(sizeof(struct node)); struct node *current; struct node *parent; tempNode->data = data; tempNode->leftChild = NULL; tempNode->rightChild = NULL; //if tree is empty if(root == NULL) { root = tempNode; } else { current = root; parent = NULL; while(1) { parent = current; //go to left of the tree if(data data) { current = current->leftChild; //insert to the left if(current == NULL) { parent->leftChild = tempNode; return; } }//go to right of the tree else { current = current->rightChild; //insert to the right if(current == NULL) { parent->rightChild = tempNode; return; } } } } } 

Binary search trees (BSTs) also give us quick access to predecessors and successors. Predecessors can be described as the node that would come right before the node you are currently at.

  • To find the predecessor of the current node, look at the rightmost/largest leaf node in the left subtree. Successors can be described as the node that would come right after the node you are currently at.
  • To find the successor of the current node, look at the leftmost/smallest leaf node in the right subtree.

Let’s look at a couple of procedures operating on trees.

Since trees are recursively defined, it’s very common to write routines that operate on trees that are themselves recursive.

So for instance, if we want to calculate the height of a tree, that is the height of a root node, We can go ahead and recursively do that, going through the tree. So we can say:

  • For instance, if we have a nil tree, then its height is a 0.
  • Otherwise, We’re 1 plus the maximum of the left child tree and the right child tree.

So if we look at a leaf for example, that height would be 1 because the height of the left child is nil, is 0, and the height of the nil right child is also 0. So the max of that is 0, then 1 plus 0.

Height(tree) algorithm

if tree = nil: return 0 return 1 + Max(Height(tree.left),Height(tree.right))

Here is the code in C++

int maxDepth(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else { int rDepth = maxDepth(node->right); int lDepth = maxDepth(node->left); if (lDepth > rDepth) { return(lDepth+1); } else { return(rDepth+1); } } } 

We could also look at calculating the size of a tree that is the number of nodes.

  • Again, if we have a nil tree, we have zero nodes.

Ellers har vi antallet af noder i det venstre barn plus 1 for os selv plus antallet af noder i det højre barn. Så 1 plus størrelsen på det venstre træ plus størrelsen på det højre træ.

Størrelse (træ) algoritme

if tree = nil return 0 return 1 + Size(tree.left) + Size(tree.right)

Her er koden i C ++

int treeSize(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else return 1+(treeSize(node->left) + treeSize(node->right)); }

Relevante videoer på freeCodeCamp YouTube-kanal

  • Binært søgetræ
  • Binært søgetræ: Traversal og højde

Følgende er almindelige typer binære træer:

Fuldt binært træ / Strengt binært træ: Et binært træ er fuldt eller strengt, hvis hver knude har nøjagtigt 0 eller 2 børn.

 18 / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40

I fuldt binært træ er antallet af bladnoder lig med antallet af interne noder plus en.

Komplet binært træ: Et binært træ er komplet Binært træ, hvis alle niveauer er fuldstændigt udfyldt undtagen muligvis det sidste niveau, og det sidste niveau har alle taster så venstre som muligt

 18 / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 / \ / 8 7 9