Simpsons regel: formlen og hvordan den fungerer

Simpsons regel er en metode til numerisk integration. Med andre ord er det den numeriske tilnærmelse af bestemte integraler.

Simpsons regel er som følger:

I det,

  • f(x)kaldes integrand
  • a = nedre grænser for integration
  • b = øvre grænse for integration

Simpsons 1/3 regel

Som vist i diagrammet ovenfor f(x)tilnærmes integranden med et andet ordens polynom; det kvadratiske interpolante væsen P(x).

Tilnærmelsen følger,

Udskifter (b-a)/2som h, får vi,

Som du kan se, er der en faktor 1/3i ovenstående udtryk. Derfor kaldes det Simpsons 1/3 regel .

Hvis en funktion er meget oscillerende eller mangler derivater på bestemte punkter, kan ovenstående regel muligvis ikke give nøjagtige resultater.

En almindelig måde at håndtere dette på er ved at bruge den sammensatte Simpsons regeltilgang . For at gøre dette skal du opdele [a,b]i små underintervaller og derefter anvende Simpsons regel på hvert underinterval. Derefter summeres resultaterne af hver beregning for at give en tilnærmelse over hele integralen.

Hvis intervallet [a,b]er opdelt i nunderintervaller og ner et lige antal, beregnes den sammensatte Simpsons regel med følgende formel:

hvor x j = a + jh for j = 0,1,…, n-1, n med h = (ba) / n ; især x 0 = a og x n = b .

Eksempel i C ++:

For at tilnærme værdien af ​​integralen nedenfor, hvor n = 8:

#include #include using namespace std; float f(float x) { return x*sin(x); //Define the function f(x) } float simpson(float a, float b, int n) { float h, x[n+1], sum = 0; int j; h = (b-a)/n; x[0] = a; for(j=1; j<=n; j++) { x[j] = a + h*j; } for(j=1; j<=n/2; j++) { sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]); } return sum*h/3; } int main() { float a,b,n; a = 1; //Enter lower limit a b = 4; //Enter upper limit b n = 8; //Enter step-length n if (n%2 == 0) cout<
    

Simpson's 3/8 Rule

Simpson's 3/8 rule is similar to Simpson's 1/3 rule, the only difference being that, for the 3/8 rule, the interpolant is a cubic polynomial. Though the 3/8 rule uses one more function value, it is about twice as accurate as the 1/3 rule.

Simpson’s 3/8 rule states :

Replacing (b-a)/3 as h, we get,

Simpson’s 3/8 rule for n intervals (n should be a multiple of 3):

where xj = a+jh for j = 0,1,…,n-1,n with h=(b-a)/n; in particular, x0 = a and xn = b.